Задание 19. На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 7 до 27 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?
Решение.
а) Натуральные числа от 7 до 27 это числа:
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
всего 21 число. Чтобы расставить числа для получения разности не меньше 11, т.е. 11 – минимальная разность, должны получить последовательность:
7, 19, 8, 20, 9, 21, 10, 22, 11, 23, 12, 24, 13, 25, 14, 26, 15, 27, 16
но число 17 не может быть проставлено, следовательно, такую последовательность сформировать нельзя.
Ответ: нет.
б) Для разности не менее 10 имеем:
7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11, 22, 12, 23, 13, 24, 14, 25, 15, 26, 16, 27, 17
получаем последовательность из всего набора чисел.
Ответ: да.
в) Здесь следует рассматривать тройки чисел, следовательно, весь набор из 21 чисел нужно разбить на 3, получим 7 групп чисел, которые можно расставить следующим образом:
7, 14, 21, 8, 15, 22, 9, 16, 23, 10, 17, 24, 11, 18, 25, 12, 19, 26, 13, 20, 27
то есть 
.
Ответ: 6.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: