Рассмотрим задачу, которая приводит к формуле Бернулли. Пусть монета подбрасывается четыре раза и нужно найти вероятность того, что орел выпал ровно два раза (не важно в каком порядке). Если решать такую задачу стандартным путем, то нужно перебрать все варианты, в которых орел выпадает ровно два раза, получим:
-
орел, орел, решка, решка;
-
решка, орел, орел, решка;
-
решка, решка, орел, орел;
-
решка, орел, решка, орел;
-
орел, решка, орел, решка;
-
орел, решка, решка, орел.
Решением задачи будет сумма вероятностей несовместных событий
:
.
Вероятность события будет равна произведению вероятностей
появления сначала двух орлов, а затем двух решек. Так как вероятности появления
орла или решки равны по 1/2, то для вероятности события имеем
Можно заметить, что вероятности всех шести событий равны 1/16. В результате, окончательно получаем решение
.
Теперь посмотрим, как можно упростить решения этой и
подобных ей задач. По-существу нас интересует событие 
(выпадение орла), которое должно
появиться дважды из четырех возможных случаев. Число таких возможных сочетаний определяется
выражением:
где 
-
число появления события из
возможных
исходов неважно в каком порядке. При этом можно заметить, что каждый из 
вариантов появляется с
равной вероятностью.
Обозначим вероятность появления события в одном эксперименте через 
(в нашем случае 
), а вероятность не
появления события в
эксперименте через 
(в
нашей задаче 
). В
результате, вероятность появления того или иного варианта с двумя исходами
события будет
равна
и тогда решение задачи можно записать в виде
.
Эта формула получила название формулы Бернулли и позволяет
вычислить вероятность появления некоторого события ровно 
раз в 
экспериментах, зная вероятность появления события
в одном
эксперименте.