Рассмотрим задачу, которая приводит к формуле Бернулли. Пусть монета подбрасывается четыре раза и нужно найти вероятность того, что орел выпал ровно два раза (не важно в каком порядке). Если решать такую задачу стандартным путем, то нужно перебрать все варианты, в которых орел выпадает ровно два раза, получим:
-
орел, орел, решка, решка;
-
решка, орел, орел, решка;
-
решка, решка, орел, орел;
-
решка, орел, решка, орел;
-
орел, решка, орел, решка;
-
орел, решка, решка, орел.
Решением задачи будет сумма вероятностей несовместных событий :
.
Вероятность события будет равна произведению вероятностей появления сначала двух орлов, а затем двух решек. Так как вероятности появления орла или решки равны по 1/2, то для вероятности события имеем
Можно заметить, что вероятности всех шести событий равны 1/16. В результате, окончательно получаем решение
.
Теперь посмотрим, как можно упростить решения этой и подобных ей задач. По-существу нас интересует событие (выпадение орла), которое должно появиться дважды из четырех возможных случаев. Число таких возможных сочетаний определяется выражением:
где - число появления события из возможных исходов неважно в каком порядке. При этом можно заметить, что каждый из вариантов появляется с равной вероятностью.
Обозначим вероятность появления события в одном эксперименте через (в нашем случае ), а вероятность не появления события в эксперименте через (в нашей задаче ). В результате, вероятность появления того или иного варианта с двумя исходами события будет равна
и тогда решение задачи можно записать в виде
.
Эта формула получила название формулы Бернулли и позволяет вычислить вероятность появления некоторого события ровно раз в экспериментах, зная вероятность появления события в одном эксперименте.