Задание 19. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.
б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?
в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа.
Решение.
а) Пусть a,b,c,d – цифры четырехзначного числа. Их произведение должно быть в 10 раз больше их суммы, т.е.
или в виде
.
Возьмем числа a и b кратные 10, например, 5, а число c, также кратное 10, равное 2, получим уравнение для d:
Значение d соответствует цифре 3, значит, мы удачно выбрали предыдущие цифры a, b и c. Таким образом, получили число
5523.
Путем подбора можно найти и другие четырехкратные числа, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: 5523.
б) Поступаем аналогично, имеем уравнение
.
Рассуждаем аналогично. Чтобы получить d как цифру, она должна быть в диапазоне от 1 до 9 (цифра 0 исключается, т.к. в произведении даст 0). Для этого, множитель перед d должен получиться больше 175. Подберем первые три цифры так, чтобы получилось ближайшее большее к 175: a=5, b=6, c=6
Не соответствует цифре. Найдем наибольшее число для d: a=9, b=9, c=9:
не является целым значением. Попробуем найти его при: a=9, b=9, c=8:
Также не является целым и больше 9, следовательно, другие варианты будут приводить к , что не является цифрой. Следовательно, нельзя подобрать четырехзначное число, удовлетворяющее данному условию.
Ответ: нет.
в) Для уравнения
возьмем цифры a=5, b=5, c=8, получим для d:
Получили четырехзначное число
5586.
Можно заметить, что все остальные четырехзначные числа будут соответствовать всем возможным перестановкам найденных цифр, то есть получаем варианты:
5568, 5658, 6558, 6585, 6855, 8655, 8565, 8556, 5856, 5865, 5685,
то есть всего 12 вариантов.
Ответ: 5586 и еще 11 вариантов.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: