Рассмотрим синтез (построение)
фильтра Винера для сигнала 
, состоящего из двух
отсчетов 
и 
:
.
Здесь знак 
означает транспонирование, т.е. вектор является вектор-столбцом, но для удобства
записан как вектор-строка.
На вход фильтра поступают наблюдения
и
,
где 
- шумовые добавки,
искажающие исходный сигнал . Будем полагать, что являются независимыми гауссовскими
случайными величинами с нулевым средним значением (математическим ожиданием) и
известной дисперсией 
.
Целью работы фильтра Винера является вычислить
исходный сигнал по наблюдениям 
. Однако точно определить значения по наблюдениям 
, как
правило, невозможно, можно лишь уточнить значения наблюдений (построить оценки),
стараясь максимально приблизиться к истинным значениям сигнала , т.е. избавиться от шумовых составляющих 
и 
.
В фильтре Винера оценка 
-го отсчета 
строится
по правилу:
,
где 
- набор некоторых (пока
еще неизвестных) весовых коэффициентов. Или в нашем случае:
. (1)
Коэффициенты 
требуется
выбрать так, чтобы обеспечить наилучшее приближение оценки к исходному значению 
.
При этом «наилучшее» означает минимум дисперсии рассогласования (ошибки) между
оценкой и ее истинным значением, т.е.
.
Учитывая, что в нашем случае значение дисперсии 
зависит от двух параметров 
и 
, то их оптимальные
значения можно найти из системы линейных уравнений:
(2)
так как значения производных в точке минимума квадратичной функции равны. Вычисляя производные, получаем следующее выражение для вычисления оценки первого отсчета:
и, раскрывая знак математического ожидания, имеем:
Оценка -го отсчета при
многомерном векторе наблюдений 
, будет строиться в виде
.
Тогда дисперсия ошибки оценивания для -го отсчета
будет зависеть от вектора параметров 
и имеет вид:
.
Оптимальные значения весовых коэффициентов находятся
из уравнения
и, получаем
Первое слагаемое полученного выражения представляет собой взаимную корреляцию
-го отсчета с
вектором наблюдений 
и представляет собой вектор
,
где 
- ковариация между -м
и 
-м отсчетами последовательности .
Второе слагаемое соответствует взаимной корреляции вектора наблюдений и представляет собой матрицу следующего вида
здесь 
- автоковариационная матрица
последовательности , а 
-
диагональная матрица с дисперсиями шума наблюдений.
В приведенных обозначениях, оптимальный вектор весовых коэффициентов вычисляется следующим образом:
.