Предположим, имеются два
наблюдения текущей координаты 
положения объекта с
приемников ГЛОНАСС и GPS:
-
наблюдение с ГЛОНАСС,
-
наблюдение с GPS,
где 
и 
-
независимые величины шума (погрешности измерений) с известными дисперсиями 
и 
и нулевыми математическими
ожиданиями (средними значениями). На основе этих двух наблюдений нужно
вычислить значение координаты . Точно узнать значение , как правило, невозможно. Можно лишь
уточнить значения наблюдений 
и 
,
стараясь максимально приблизиться к истинному значению координаты, т.е.
избавиться от шумовых составляющих и .
Если случайные величины и подчиняются нормальному
закону распределения, то наилучшее приближение (наилучшую оценку) 
можно построить по правилу
, (1)
где 
и 
-
некоторые (пока еще неизвестные) весовые коэффициенты, которые влияют на
качество оценки . Можно заметить, если сумма
коэффициентов
, (2)
то, оценка, построенная по линейному алгоритму (1),
в среднем, будет равна истинному значению , т.е.
будет несмещенной:
,
где 
- оператор
математического ожидания.
Для решения нашей задачи
необходимо выполнение условия (2), иначе оценка будет «уходить» либо вниз, либо
вверх от истинного значения координаты . Учитывая
условие (2), алгоритм (1) можно переписать в виде:
или, заменяя 
,
(3)
Алгоритм (3) описывает принцип
построения оценок с помощью фильтра Калмана, а неизвестный коэффициент 
выбирается так, чтобы минимизировать
критерий качества для оценки .
Рассмотрим вид критерия качества
для решения указанной задачи, используемый в фильтре Калмана. Очевидно, что при
построении оценки будет возникать ошибка
и желательно, чтобы эта ошибка была как можно меньше. Чтобы оценивать качество работы алгоритма (3) выберем функцию потерь (штрафа) в виде
, (4)
которая будет возрастать при возрастании ошибки и
убывать при ее уменьшении. Преимущество такого выбора функции потерь в том, что
она имеет один глобальный минимум и в этой точке существует производная. Это
значит, что на ее основе можно аналитически построить алгоритм вычисления
оценки . Однако, что функция (4), вообще говоря,
является случайной величиной, т.к. от измерения к измерению меняются
погрешности и , что приводит и к
изменению значения оценки , при одном и том же
алгоритме обработки наблюдений. Поэтому критерий качества следует выбрать таким
образом, чтобы алгоритм давал в среднем минимум функции 
,
т.е.
. (5)
Выражение (5) можно интерпретировать как минимум
дисперсии ошибки оценивания, т.к. случайная величина 
имеет
нулевое математическое ожидание, то ее возведение в квадрат 
дает дисперсию ошибки оценивания:
(6)
Последнее выражение показывает,
что дисперсия 
зависит от коэффициента , оптимальное значение которого находится в
точке минимума дисперсии . Учитывая, что в точке
минимума производная равна нулю, получаем уравнение для вычисления коэффициента
:
.
и после вычисления производной, получаем
,
откуда имеем
. (7)
Выражение (7) определяет оптимальное значение
коэффициента для построения оценки и алгоритм (3) принимает вид
(8)
Уравнение (8) является примером
реализации фильтра Калмана для задачи построения оценки координаты по двум наблюдениям и
с независимым гауссовсовским шумом
(погрешностями наблюдений). Из выражения (8) видно, что если 
(GPS дает более точные значения, чем ГЛОНАСС), то больше
информации будет извлекаться из наблюдения и меньше
из . Если же 
, то
выражение (8) приобретает вид 
, т.е. происходит
усреднение наблюдений. При этом, в каждом конкретном случае можно вычислить
значение дисперсии ошибки оценивания , т.е. узнать насколько
улучшилась оценка по сравнению с исходными
наблюдениями и . Для этого достаточно
подставить оптимальное значение коэффициента в
выражение (6) и сделать несложные математические преобразования:
(9)
следовательно,
(10)
т.е. оптимальное значение коэффициента также равно дисперсии ошибки оценивания
деленной на дисперсию погрешности второго наблюдения.
Обычно фильтр Калмана записывают в виде
,
и, подставляя вместо значение
(10), получаем известную запись алгоритма калмановской фильтрации:
где ясно видно, что наблюдение уточняется наблюдением корректирующим коэффициентом 
.
Теперь предположим, что в рамках решаемой задачи, появилось еще одно наблюдение
,
координаты от
независимого источника информации. Тогда для уточнения текущей оценки представим ее как первое наблюдение
,
с известной величиной дисперсии погрешности . В результате получим следующий алгоритм
обработки наблюдений:
(11)
где 
в соответствии с
выражением (9) вычисляется как
. (12)
Формулы (11) и (12) показывают принцип
рекуррентного вычисления оценок (уточнения оценки) в фильтре Калмана по серии
наблюдений 
Рекуррентное вычисление оценок является
главным преимуществом фильтра Калмана перед другими способами фильтрации,
используя на каждом шаге только два наблюдения. Вместе с тем, модель, в которой
текущее наблюдение корректируется лишь предыдущим, соответствует марковской модели,
где текущее состояние дает полную информацию для статистического описания
поведения процесса в «будущем». Простым примером марковской модели может
служить изменение координаты движения объекта в пространстве, когда знание его
текущей координаты достаточно для вероятностного описания движения объекта в
«будущем». При этом «знать» где он был «в прошлом» нет необходимости. Только
для таких моделей фильтр Калмана дает оптимальные оценки. В ином случае
необходимо либо соглашаться с неоптимальностью работы алгоритма, либо применять
другие методы фильтрации.