Задание 6. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение.
Так как треугольник прямоугольный и медиана BD исходит из прямого угла B, то точка D является центром описанной окружности вокруг треугольника ABC. Следовательно, AD=DC=DB=r – радиус описанной окружности.
Треугольник
ADB – равнобедренный
со сторонами AD=DB, в котором углы
при основании AB равны, то есть 
. Также известно, что углы
A и HBC равны как углы
со взаимно перпендикулярными сторонами. В результате получаем, что углы 
, а угол 
- по условию задачи.
Отсюда находим, что
,
следовательно,
.
Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то
.
Ответ: 65.
В данном разделе представлены задания по планиметрии из открытого банка задач по ЕГЭ математика профильный уровень за предыдущие годы.
Для наших пользователей доступны следующие материалы: