Задание 17. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Решение.
Так как для обеспечения максимального производства металлов нужно добывать максимальное количество или алюминия или никеля, то в первой области целесообразно всех 250 рабочих направить на добычу алюминия, т.к. производство алюминия в первой области выше, чем никеля, получим:
кг алюминия.
Во
второй области нужно 250 рабочих распределить на две группы так, чтобы из количества
человеко-часов каждой группы извлекался квадратный корень. Это связано с тем,
что для производства 1 кг алюминия или никеля требуется 
или 
человеко-часов и наибольшая
производительность (при производстве металлов) будет достигаться при добыче
целого числа килограмм алюминия или никеля. Число человеко-часов можно найти
или путем подбора, или так: пусть 
рабочих будет в первой группе, тогда во
второй остается 
рабочих.
Суммарный объем добычи составит
.
Для
нахождения максимума функции, вычислим производную по и приравняем ее нулю, получим:
,
откуда следует равенство
,
и
находим :
То есть можно разбить рабочих по 125 человек и тогда каждая группа будет добывать
кг алюминия
и
кг никеля
Таким образом, в сумме получаем объем добычи металлов:
250+25+25=300 кг.
Ответ: 300.