Задание 19. а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа и дают одинаковый остаток при делении на 200.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и дают одинаковый остаток при делении на 200.
Решение.
а) Рассмотрим два числа и , которые имеют одинаковый остаток при делении на 200, то есть можно записать
, ,
где - целые числа (целые результаты деления чисел на 200). Тогда можно заметить, что разность этих чисел
будет делиться на 200 нацело. Для чисел и можно заключить, что разность
должна делиться на 200. Кроме того, значение должно быть кратно 25, так как НОД(32, 200)=8 и 200:8=25. Таким образом, условию пункта а) удовлетворяют все числа , при . Например, при получаем и видим, что
и
имеют одинаковый остаток.
Ответ: 17.
б) Трехзначные числа будут получаться при , то есть их всего 36 штук.
Ответ: 36.
в) Сначала вычислим разность этих двух чисел, получим:
,
и, учитывая, что должно быть четным, имеем:
это значение должно быть кратно 200.
Из предыдущего пункта мы выяснили, что число удовлетворяет условию текущего задания. Это связано с тем, что НОД(2*m=32, 200)=8 и тогда множитель должен быть кратен 200:8=25, и число
.
Найдем такие четные двухзначные , при которых НОД(2*m, 200)=8, получим:
±12, ±16, ±24, ±32, ±48, ±56, ±64, ±72, ±88, ±96,
то есть всего 20 значений.
Ответ: 20.