Задание 19. Известно, что a, b, c и d — попарно различные двузначные числа.
а) Может ли
выполняться равенство 
?
б) Может ли дробь 
быть в 11 раз меньше,
чем сумма 
?
в) Какое наименьшее
значение может принимать дробь , если
и 
?
Решение.
а) Так как числа a, b, c, d двухзначные, то
для выполнения соотношения 12/19 умножим числитель и знаменатель на некоторое
целое число 
,
получим:
.
Это равенство можно обеспечить, например, при k=5, тогда
и можно взять числа a=10, c=15, b=50, d=45.
Ответ: да.
б) Проверим, можно ли найти такие двухзначные a, b, c, d, чтобы выполнялось равенство
,
или в виде
,
получаем систему:
Отсюда видно, что не существует двухзначных чисел b и d таких, чтобы их сумма и произведение было равно. Следовательно, обеспечить равенство невозможно.
Ответ: нет.
в) Чтобы дробь 
принимало минимальное
значение необходимо, чтобы величина 
была как можно меньше, а величина 
как можно больше.
Учитывая, что и
, можно
записать
Из
второго условия (так как число 
тогда получится больше числа 
), получаем, что
.
Теперь
перепишем дробь, подставляя вместо 
и 
, так как это минимальные возможные
значения:
Чтобы получить наименьшее значение 
, выберем наименьшее двухзначное
значение 
(так как ), получим:
.
Таким образом, дробь будет принимать минимальные значения при b=10, a=31, d=49, c=99.
Ответ: 
.