Задание 19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Решение.
а) Обозначим через n – число солдат в первом взводе, а через m – число солдат во втором взводе. При этом должно выполняться неравенство
и
числа n, m должны быть
такими, чтобы делились нацело на натуральное число 
, где k – число солдат в
ряду.
Подберем
такие числа, начиная с меньшего числа n и k=9. Очевидно,
наименьшее 
.
Тогда 
и делилось бы
нацело на 9. Как видим, такое число подобрать не удается. Возьмем тогда k=10, получим:
и
получаем целое значение 
. Таким образом, получили 50+60=100
солдат, которые можно разбить по 10 человек в ряд, причем в 1-м взводе будет 5
рядов, а во 2-м – 6 рядов.
Ответ: 50 и 60.
б)
Рассмотрим,
можно ли подобрать n и m при k=13, получим,
минимальное 
,
и тогда 
.
Следующее значение 
,
то есть подобрать целое число солдат не удается.
Ответ: нет.
в) Найдем
граничные значения числа солдат в роте. Минимальное значение 
, следовательно,
k=47, и 
, и максимальное
значение 
найти не удается. Далее по
аналогии:
-
для 
, k=12, 
, 
в роте 48+60=108 солдат;
-
для 
, k=49 – не
подходит;
-
для 
, k=10, 
, 
и в роте 50+60=110
солдат;
-
для 
, k=17, 
, 
- не подходит.
Последующие значения будут давать те же результаты. Таким образом, число солдат в роте может быть 110 или 108.
Ответ: 108 или 110.