Задание 19. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие пять мальчиков и три девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников девять?
в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 9 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в четыре раза больше очков, чем девочки?
Решение.
а) Первая девочка
играет с 5 мальчиками и 2 девочками, то есть проводит 7 игр по 2 раза. Вторая
девочка играет с 5 мальчиками и 1 девочкой (обратите внимание, что игру со второй
девочкой уже учли ранее), то есть проводит 6 игр по 2 раза. Третья девочка играет
с 5 мальчиками (все остальные игры с двумя девочками уже учтены), то есть проводит
5 игр по 2 партии. Таким образом, всего девочки проводят 7+6+5=18 игр и играют
по 2 партии, то есть 
партий.
За одну партию девочка максимум может получить 1 очко. Следовательно,
максимальное количество очков, которое могут получить девочки, равно 36.
Ответ: 36.
б) При 
участниках, общее
число возможных пар равно
,
каждая пара играет по 2 раза, то есть играется 72 партии. В каждой партии максимум зарабатывается одно очко. Следовательно, максимальное число очков равно 72.
Ответ: 72.
в) Обозначим через
число
девочек, тогда мальчиков будет 
, и всего участников 
. Общее число пар, которые образуют
девочки, определяется формулой 
, и так как проводится по 2 партии на
каждой встрече, то общее число партий для девочек, равно
Общее число очков, которые заработали и мальчики и девочки, равно
,
и так как мальчики заработали в 4 раза больше очков, чем девочки, то данная величина соотносится как 4:1, то есть число очков девочек составляет
,
получаем уравнение:
откуда
имеем два решения: 
и
. Так как
число девочек должно быть больше 0, то имеем ответ 1 девочка.
Ответ: 1.