Источник задания: Решение 4654. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий.

Решение.

Будем полагать, что самая большая сторона  тупоугольного треугольника – это его основание AB. Тогда сумма двух других его сторон , но меньше  (иначе тупой угол перейдет в прямой, а затем в острый).

а) Найдем натуральные a и b такие, что . Можно положить, например, что a=3, b=2, а . Первое условие  выполняется, второе условие  не выполняется. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. Проверим, при k=2, имеем:

при k=3:

и т.д. при k=5:

Ответ: a=15, b=10, c=11.

б) Найдем натуральные a и b такие, что . При этом, число , так как b по условию – меньшее число. Например, выберем a=5, b=4, c=5. Проверим выполнение условий:

Второе условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты будут соответствовать величинам , где k – натуральное число. При этом можно заметить, что

и тогда второе условие можно записать в виде

Так как , то последнее выражение будет больше 0 и представлять собой параболу, ветви которой направлены вверх, то есть оно ни при каких возможных  не станет отрицательным.

Ответ: нет.

в) Нужно найти наименьшее значение , при значении c=18. Для минимизации отношения, необходимо величину  выбрать как можно ближе к 18 и величину  также выбрать как можно ближе к 18. При этом должны выполняться условия для тупоугольного треугольника (см. выше). Первое условие  легко выполняется, поэтому обратим внимание на второе условие . При максимальном значении b=17, получаем:

,

то есть минимальное значение  должно быть равно 25. Таким образом, минимальное значение отношения, равно

.

Ответ: .

Научись программировать на Python бесплатно!

---

Наша группа Вконтакте Наш канал