Задание 19. Про три различных натуральных числа известно, что они являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 13/7?
б) Могло ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 8/7?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине из этих чисел равно 25?
Решение.
Будем
полагать, что самая большая сторона тупоугольного треугольника – это его
основание AB. Тогда сумма
двух других его сторон 
, но меньше 
(иначе тупой угол перейдет в прямой, а
затем в острый).
а) Найдем
натуральные a и b такие, что 
. Можно положить,
например, что a=13, b=7, а 
. Первое условие выполняется, второе
условие 
также
выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.
Ответ: a=13, b=7, c=8.
б) Найдем
натуральные a и b такие, что 
. При этом, число 
, так как b по условию –
меньшее число. Например, выберем a=8, b=7, c=8. Проверим
выполнение условий:
Второе
условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти
другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты
будут соответствовать величинам 
, где k – натуральное
число. Для выполнения второго условия лучше всего будут подходить величины a, b, c, равные
и второе условие можно записать в виде
и
при 
последнее
неравенство всегда будет положительным, то есть подобрать величины a, b, c невозможно.
Ответ: нет.
в) Нужно найти
наименьшее значение 
,
при значении c=25. Для
минимизации отношения, необходимо величину 
выбрать как можно ближе к 25 и величину 
также выбрать как
можно ближе к 25. При этом должны выполняться условия для тупоугольного
треугольника (см. выше). Первое условие легко выполняется, поэтому обратим
внимание на второе условие 
. При максимальном значении b=24, получаем:
,
то
есть минимальное значение 
должно быть равно 35. Таким образом,
минимальное значение отношения, равно
.
Ответ: 
.