Задание 19. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Решение.
а) Пусть дана
арифметическая прогрессия, состоящая из трех чисел 
. Тогда первое значение, которое
вычислил математик, равно величине
.
Затем,
был добавлен следующий член арифметической прогрессии 
, и было получено значение
.
Необходимо,
чтобы разность 
,
раскрывая квадраты и сокращая подобные члены, получаем:
Из
формул арифметической прогрессии известно, что 
и 
, где 
- разность арифметической прогрессии (
). Таким образом,
последнее выражение можно переписать в виде
Из
последнего выражения видно, что если взять 
и 
, то получим соблюдение равенства
,
то есть можно взять арифметическую последовательность вида
и 
,
которая даст разность
б) Найдем
последовательности с 12-ю членами и 13-ю членами соответственно, у которых
разность 
. В
пункте а) была расписана разность 
для 4-х и 3-х членов последовательности.
Обобщая это выражение на n+1 и n членов
последовательности, получим:
.
Также,
учитывая, что 
и
, имеем:
,
откуда
.
Так
как 
по
условию задания, то минимальное значение разности может быть получено при 
и , получим:
,
то есть подобрать нужные арифметические последовательности с 12-ю и 13-ю членами невозможно.
Ответ: нет.
в) Из предыдущего
пункта ясно, что 
.
Последующие значения 
нужно
подбирать:
-
при 
, имеем:
число
720 не делится нацело на 11, следовательно, нельзя подобрать целые 
и ;
-
при 
:
невозможно
подобрать целые и
, чтобы
получалось 144;
-
при 
:
чтобы получить целые решения, один из множителей в левой части должен быть кратен 5 или 10, но при таких значениях целых решений найти не удается;
-
при 
:
имеется
целое решение при и
.
Таким образом, получаем следующую прогрессию из 8-ми членов:
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
которая удовлетворяет условию задания.
Ответ: 8.