Задание 19. В турнире по шахматам принимают участие мальчики и девочки. За победу в шахматной партии начисляют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за проигрыш — 0 очков. По правилам турнира каждый участник играет с каждым другим дважды.
а) Каково наибольшее количество очков, которое в сумме могли набрать девочки, если в турнире принимают участие три мальчика и две девочки?
б) Какова сумма набранных всеми участниками очков, если всего участников десять?
в) Сколько девочек могло принимать участие в турнире, если известно, что их в 7 раз меньше, чем мальчиков, и что мальчики набрали в сумме ровно в три раза больше очков, чем девочки?
Решение.
а) Первая девочка
играет с тремя мальчиками и одной девочкой, то есть проводит 4 игры по 2 раза.
Вторая девочка играет с тремя мальчиками (обратите внимание, что игру с первой
девочкой уже учли ранее), то есть проводит 3 игры по 2 раза. Таким образом,
всего девочки проводят 7 игр и играют по 2 партии, то есть 
партий. За одну партию девочка
максимум может получить 1 очко. Следовательно, максимальное количество очков,
которое могут получить девочки, равно 14.
Ответ: 14.
б) При 
участниках, общее
число возможных пар равно
,
каждая пара играет по 2 раза, то есть играется 90 партий. В каждой партии максимум зарабатывается одно очко. Следовательно, максимальное число очков равно 90.
Ответ: 90.
в) Обозначим через
число
девочек, тогда мальчиков будет 
, и всего участников 
. Общее число пар, которые образуют
девочки, определяется формулой 
, и так как проводится по 2 партии на
каждой встрече, то общее число партий для девочек, равно
Общее число очков, которые заработали и мальчики и девочки, равно
,
и так как мальчики заработали в 3 раза больше очков, чем девочки, то данная величина соотносится как 3:1, то есть число очков девочек составляет
,
получаем уравнение:
откуда
имеем два решения: 
и
. Так как
число девочек должно быть больше 0, то имеем ответ 1 девочка.
Ответ: 1.