Задание 19. Три различных натуральных числа являются длинами сторон некоторого тупоугольного треугольника.
а) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 2?
б) Может ли отношение большего из этих чисел к меньшему из них быть равно 4/3?
в) Какое наименьшее значение может принимать отношение большего из этих чисел к меньшему из них, если известно, что среднее по величине число равно 20?
Решение.
Будем
полагать, что самая большая сторона тупоугольного треугольника – это его
основание AB. Тогда сумма
двух других его сторон 
, но меньше 
(иначе тупой угол перейдет в прямой, а
затем в острый).
а) Найдем
натуральные a и b такие, что 
. Очевидно, что a должно быть
четным числом, например, 4. Тогда b=2, а c=3. Первое
условие выполняется,
второе условие 
также
выполняется, следовательно, это один из возможных вариантов.
Ответ: a=4, b=2, c=3.
б) Найдем
натуральные a и b такие, что 
. При этом, число 
, так как b по условию –
меньшее число. Например, выберем a=8, b=6, c=7. Проверим
выполнение условий:
Второе
условие не выполняется, следовательно, такие числа не подходят. Можно ли найти
другие натуральные числа, подходящие под эти условия? Все остальные варианты
будут соответствовать величинам 
, где k – натуральное
число. Можно убедиться, что ни при одном значении k условия
выполняться не будут.
Ответ: нет.
в) Нужно найти
наименьшее значение 
,
при значении c=20. Для
минимизации отношения, необходимо величину 
выбрать как можно ближе к 20 и величину 
также выбрать как
можно ближе к 20. При этом должны выполняться условия для тупоугольного
треугольника (см. выше). Первое условие легко выполняется, поэтому обратим
внимание на второе условие 
. При максимальном значении b=19, получаем:
,
то
есть минимальное значение 
должно быть равно 28. Таким образом,
минимальное значение отношения, равно
.
Ответ: 
.