Задание 19. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Решение.
а) Двухзначное натуральное
число ab можно
представить в виде 
.
Обозначим через 
-
сумму десятых частей числа, а через 
- сумму единиц двухзначных чисел. Тогда в
соответствии с условием задания, имеем:
Решаем систему уравнений, получаем значения:
и
. Найдем
теперь необходимые двухзначные числа. Начнем с большего числа 143. Разделим его
на максимальное однозначное число 9, получим 
, а последнюю цифру выберем равную 
. Таким образом, для
единиц выбрали 15 девяток и 1 восьмерку – всего 16 цифр. Теперь рассмотрим
меньшее число 22. Из него также нужно получить 16 цифр. Этого можно достичь,
если взять 10 единиц и 6 двоек, и в итоге, получаем следующий набор чисел:
19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 29, 29, 29, 29, 29, 28.
б) Проверим, могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел, получим систему уравнений:
То есть получаем, что сумма десяток должна быть дробной, но этого невозможно добиться, используя натуральные числа. Следовательно, получить сумму в 2 раза большую невозможно.
Ответ: нет.
в) Из приведенной
выше системы уравнений для и видно, что для получения их целых
значений, подходит множитель 4 (перед числом 363), следующий – это 7.
Посмотрим, что даст этот множитель для сумм:
Таким образом, необходимо, чтобы сумма десяток была равна 11, а сумма того же числа цифр давала 253. Очевидно, этого добиться невозможно, следовательно, множитель 7 уже не подходит и множитель 4 – это максимальный множитель.
Ответ: 4.