Задание 19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Решение.
а) Обозначим через n – число солдат в первом взводе, а через m – число солдат во втором взводе. При этом должно выполняться неравенство
и числа n, m должны быть такими, чтобы делились нацело на натуральное число , где k – число солдат в ряду.
Подберем такие числа, начиная с меньшего числа n и k=8. Очевидно, наименьшее . Тогда и делилось бы нацело на 8. Как видим, такое число подобрать не удается. Возьмем тогда k=9, получим:
и получаем целое значение . Таким образом, получили 54+63=117 солдат, которые можно разбить по 9 человек в ряд, причем в 1-м взводе будет 6 рядов, а во 2-м – 7 рядов.
Ответ: 54 и 63.
б) Рассмотрим, можно ли подобрать n и m при k=11, получим, минимальное , и тогда . Следующее значение , то есть подобрать целое число солдат не удается.
Ответ: нет.
в) Найдем граничные значения числа солдат в роте. Минимальное значение , следовательно, k=17, и , и максимальное значение . В роте получаем 51+68=119 солдат. Далее по аналогии:
- для , k=13, , в роте 52+65=117 солдат;
- для , k=53, , - не подходит;
- для , k=9, , и в роте 54+63=117 солдат;
- для , k=11, , - не подходит.
Последующие значения будут давать те же результаты. Таким образом, число солдат в роте может быть 117 или 119.
Ответ: 117 или 119.