Задание 19. В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 50, а вместе солдат меньше, чем 120. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, большее 7, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.
а) Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.
б) Можно ли построить роту указанным способом по 11 солдат в одном ряду?
в) Сколько в роте может быть солдат?
Решение.
а) Обозначим через n – число солдат в первом взводе, а через m – число солдат во втором взводе. При этом должно выполняться неравенство
и
числа n, m должны быть
такими, чтобы делились нацело на натуральное число 
, где k – число солдат в
ряду.
Подберем
такие числа, начиная с меньшего числа n и k=8. Очевидно,
наименьшее 
.
Тогда 
и делилось бы
нацело на 8. Как видим, такое число подобрать не удается. Возьмем тогда k=9, получим:
и
получаем целое значение 
. Таким образом, получили 54+63=117 солдат,
которые можно разбить по 9 человек в ряд, причем в 1-м взводе будет 6 рядов, а
во 2-м – 7 рядов.
Ответ: 54 и 63.
б)
Рассмотрим,
можно ли подобрать n и m при k=11, получим,
минимальное 
,
и тогда 
.
Следующее значение 
,
то есть подобрать целое число солдат не удается.
Ответ: нет.
в) Найдем
граничные значения числа солдат в роте. Минимальное значение 
, следовательно,
k=17, и 
, и максимальное значение
. В роте
получаем 51+69=119 солдат. Далее по аналогии:
-
для 
, k=13, 
, 
в роте 52+65=117 солдат;
-
для 
, k=53, 
, 
- не подходит;
-
для 
, k=9, 
, 
и в роте
54+63=117 солдат;
-
для 
, k=11, , 
- не подходит.
Последующие значения будут давать те же результаты. Таким образом, число солдат в роте может быть 117 или 119.
Ответ: 117 или 119.