Задача:
Используя рисунок 9, объясните, почему равны дроби:
Рис. 9
Решение:
Рассмотрим круг. Он разделен на 15 секторов. 9 из этих секторов закрашенные, остальные не закрашенные. Площадь закрашенного сегмента окружности поэтому составляет от всей окружности. Теперь сделаем следующее. Объединим три ближайших сегмента в один сегмент. В итоге окружность будет поделена не на15, а на 5 более крупных сегментов. Число закрашенных сегментов станет равным 3. В результате получим, что площадь закрашенного сегмента окружности составит от всей окружности. Учитывая, что площадь закрашенного сегмента для доли равна площади того же сегмента с дробью , то отсюда следует, что
.
Утверждение доказано.
Аналогично можно доказать и равенство дробей с квадратом . Здесь группа из четырех клеток может быть представлена в виде одной более крупной клетки и тогда получим, что та же закрашенная площадь квадрата описывается дробью , но с более крупными квадратами.
Наконец, в последнем рисунке, закрашенные прямоугольники, доля которых изначально от всего прямоугольника, можно представить в виде укрупненных в прямоугольников, объединяя соседние между собой. Такие прямоугольники увеличатся в два раза по сравнению с исходными, и та же закрашенная площадь будет уже описываться дробью .