Самообразование
Главная > Математика > Основы теории вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия

(для просмотра видео кликните по картинке)

Предположим, имеется случайная величина , т.е. событие, которое в экспериментах принимает случайные числовые значения. Поведение случайной величины  (в вероятностном смысле) описывает плотность распределения вероятностей (ПРВ) , показывающая вероятность попадания случайной величины в тот или иной интервал значений. Однако такая полная информация о случайной величине не всегда бывает известна при решении конкретных практических задач. Поэтому часто ограничиваются ее числовыми характеристиками, такими как математическое ожидание и дисперсия.

Для начала рассмотрим, что из себя представляет математическое ожидание. Формально оно обозначается как  и выражается такими формулами:

 - для непрерывной случайной величины

 - для дискретной случайной величины

Здесь  - вероятность появления значения  случайной величины . Смысл первого выражения – это центр тяжести ПРВ, смысл второго – взвешенная сумма значений случайной величины. Известно, что центр тяжести по смыслу означает подсчет среднего арифметического значения, и, следовательно, математическое ожидание, по сути, есть не что иное как среднее арифметическое ее возможных значений. На практике очень удобно использовать это понятие математического ожидания. Например, если случайная величина принимает значения

то по этим экспериментам можно оценить математическое ожидание  как

где знак  означает экспериментальное значение математического ожидания.

Теперь посмотрим, что из себя представляет дисперсия. Дисперсия обозначается как  и выражается формулами

 - для непрерывной случайной величины

 - для дискретной случайной величины

Здесь  - также вероятность появления значения  случайной величины . Геометрический смысл дисперсии заключается в мере разброса случайной величины относительно математического ожидания, т.е. чем больше значение дисперсии, тем больше разброс случайной величины относительно центра тяжести (математического ожидания).

По экспериментальным данным дисперсию можно оценить так:

 - экспериментальное значение дисперсии

Здесь знак  означает экспериментальное значение дисперсии и математического ожидания.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Видео по теме
Темы раздела