Самообразование
Главная > Математика > Основы теории вероятностей

Понятие плотности распределения вероятностей

(для просмотра видео кликните по картинке)

Вернемся к примеру с игральным кубиком, в котором была введена случайная величина , связанная с появлением чисел 1,2,3,4,5,6 – граней игрального кубика. Вероятность появления каждой из граней равна 1/6. Данная информация является полным описанием поведения случайной величины , и потому имеет большое значение в теории вероятностей.  Представим ее графически (рис. 1).

Рис. 1.

Интерпретировать рисунок 1 можно так. Вероятность появления числа 1 при бросании кубика будет соответствовать площади соответствующего сегмента (см. рис. 1), равная 1/6. Аналогично и для других чисел. Если же мы хотим определить вероятность появления чисел или 1 или 6 – это будет сумма соответствующих площадей сегментов в сумме равные 1/3. Таким образом, площадь под графиком ПРВ показывает вероятность появления того или иного числового значения.

Изменим условия нашего эксперимента. Пусть теперь бросается игральная кость не с шестью, а с 12-ю симметричными гранями. И на гранях будут значения 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, ..., 6, т.е. появятся промежуточные значения между целыми числами. В этом случае рисунок 1 изменится на следующий

Рис. 2.

Тогда вероятность появления грани с числом 1/2 будет равна площади, равная 1/12 (см. рис. 2). Это соответствует вероятности выпадения данной грани модифицированного кубика.

Теперь модифицируем игральный кубик, добавив бесконечное число граней. В этом случае, игральный кубик превратится в шар, и если условно пронумеровать его гипотетические грани, то получим множество непрерывных значений в диапазоне от 0 до 6. Графически это будет выглядеть так

Рис. 3.

В итоге приходим к непрерывной случайной величине , а ее полной вероятностной характеристикой будет график, показывающий вероятность попадания значений СВ в тот или иной интервал, как величину соответствующей площади под этим графиком (см. рис. 3). Представленный график носит название плотности распределения вероятности и описывает вероятность попадания СВ в указанный диапазон, либо может показывать вероятность появления того или иного числового значения дискретной СВ.

ПРВ часто обозначается как . Используя это обозначения, можем записать:

- вероятность попадания СВ в диапазон от  до , равна:

- площадь под графиком ПРВ равна

- значение функции ПРВ всегда больше 0:

Приведенный пример графика ПРВ на рис. 3 относится к равномерному распределению. На практике часто используются и другие ПРВ, например, нормальное (гауссовское) распределение, распределение Рэлея, экспоненциальное распределение и т.д., представленные ниже.

Рис. 4. График нормальной ПРВ

Рис. 5. График распределения Рэлея

Рис. 6. График экспоненциального распределения

Видео по теме
Темы раздела