Самообразование
Главная > Математика > Основы теории вероятностей

Формула Бернулли

(для просмотра видео кликните по картинке)

Рассмотрим задачу, которая приводит к формуле Бернулли. Пусть монета подбрасывается четыре раза и нужно найти вероятность того, что орел выпал ровно два раза (не важно в каком порядке). Если решать такую задачу стандартным путем, то нужно перебрать все варианты, в которых орел выпадает ровно два раза, получим:

 - орел, орел, решка, решка;
 - решка, орел, орел, решка;
 - решка, решка, орел, орел;
 - решка, орел, решка, орел;
 - орел, решка, орел, решка;
 - орел, решка, решка, орел.

Решением задачи будет сумма вероятностей несовместных событий :

.

Вероятность события  будет равна произведению вероятностей появления сначала двух орлов, а затем двух решек. Так как вероятности появления орла или решки равны по 1/2, то для вероятности события  имеем

Можно заметить, что вероятности всех шести событий равны 1/16. В результате, окончательно получаем решение

.

Теперь посмотрим, как можно упростить решения этой и подобных ей задач. По-существу нас интересует событие  (выпадение орла), которое должно появиться дважды из четырех возможных случаев. Число таких возможных сочетаний определяется выражением:

где  - число появления события  из  возможных исходов неважно в каком порядке. При этом можно заметить, что каждый из  вариантов появляется с равной вероятностью.

Обозначим вероятность появления события  в одном эксперименте через  (в нашем случае ), а вероятность не появления события  в эксперименте через  (в нашей задаче ). В результате, вероятность появления того или иного варианта с двумя исходами события  будет равна

и тогда решение задачи можно записать в виде

.

Эта формула получила название формулы Бернулли и позволяет вычислить вероятность появления некоторого события  ровно  раз в  экспериментах, зная вероятность появления события  в одном эксперименте.

Видео по теме
Темы раздела