Самообразование
Главная > Математика > Основы теории вероятностей

Формула полной вероятности. Формула Байеса

(для просмотра видео кликните по картинке)

Рассмотрим четыре несовместных события  (рис. 1). Совместно с каждым из этих 4-х событий может произойти некоторое событие A. Требуется найти вероятность этого события.

Рис. 1.

Вероятность события A условно можно представить в виде площади множества A. Площади каждых из четырех частей этого множества равны:

Тогда вероятность события A можно записать как

Учитывая, что вероятность произведения двух событий в общем виде записывается в виде

можем записать, что

или обобщая данный пример на n-мерный случай, имеем

Эта формула получила название формулы полной вероятности и позволяет вычислять вероятность события A через вероятности  и условные вероятности .

Формула полной вероятности, в частности используется в широко применяемой на практике формуле Байеса (Формулу Байеса также называют формулой проверки гипотез). Ценность формулы Байеса заключается в возможности вычисления вероятности появления той или иной гипотезы в зависимости от появления некоторого события A. Например, для каналов связи она позволяет вычислить вероятность передачи бита 0 или 1 (гипотезы  и ) при возникновении ошибки в канале связи (т.е. при возникновении события ).

Формула Байеса получается из формулы вычисления произведения вероятности двух событий. В качестве событий рассмотрим несовместные события , которые в формуле Байеса называются гипотезами, и некоторое событие A, которое может появиться с одной из гипотез. Тогда вероятность , равна

откуда получаем

Учитывая формулу полной вероятности для события A, получим

Эта формула получила название формулы Байеса.

Видео по теме
Темы раздела