ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 5060. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: АВ = 60, ВС = 28, CD = 96, AD = 80 и BD = 100. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Задание 25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: АВ = 60, ВС = 28, CD = 96, AD = 80 и BD = 100. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение.

Рассмотрим треугольник ADB, в котором AD=80, AB=60, DB=100 (см. рисунок ниже). Можно заметить, что

то есть, треугольник ADB – прямоугольный (по теореме, обратной тереме Пифагора) с гипотенузой DB и углом A=90º.

Рассмотрим треугольник DCB, в котором DC=96, BC=28, DB=100, имеем:

,

то есть, треугольник DCB – прямоугольный с гипотенузой DB и углом C=90º.

Получаем, что , значит, . Равенство суммы противоположных углов означает, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: