ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 4861. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 13.

Задание 26. В трапеции ABCD основания AD и ВС равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся прямой CD, если АВ = 13.

Решение.

1. Продлим отрезки AB и DC, которые пересекутся в точке K (см. рисунок ниже). По условию , следовательно,  (сумма углов в любом треугольнике 180º) и треугольник ADK – прямоугольный.

2. Рассмотрим подобные треугольники BKC и AKD (по двум углам) с коэффициентом подобия k=1/3 (так как BC:AD = 1:3). Запишем отношение:

Значит, AK=AB+BK=13+6,5=19,5.

3. Отрезок KN – касательная к окружности в точке N, а AK – секущая этой касательной, следовательно,

4. Рассмотрим квадрат NOFK, в котором FO=KN=6,5√3, OB=R – радиус окружности и BF=NO-BK = R-6,5. Тогда из прямоугольного треугольника FBO, имеем:

Ответ: 13.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: