Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет хотя бы одно, но не более шести решений.
Решение.
Заметим, что из второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что .
Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:
Обратим внимание, что на координатной плоскости прямые и параллельны и расположены ниже прямой , проходящей через начало координат. Исходная система имеет не более 6 решений тогда, когда одна прямая пересекает одну гиперболу в двух точках, а вторая прямая пересекает гиперболы в 4 точках (т.е. каждую гиперболу в двух точках). В случае совпадения прямых система имеет четыре решения. Значение параметра, при котором прямые совпадают, найдем из условия , .
Рассмотрим каждую из систем в отдельности.
Первая система:
Точка является точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид
.
В нашем случае уравнение касательной примет вид
.
После преобразований получаем
.
Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты
Таким образом, получаем, что при система имеет 2 решения; при система имеет 3 решения, при система имеет 4 решения.
Вторая система:
Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений
Таким образом, при система имеет 2 решения, при система имеет три решения, при система имеет 4 решения.
Представим полученные решения двух систем на числовой оси. Решением задачи будет пересечение решений двух систем, дающие 6 решений.
Таким образом, совокупность систем имеет решение .
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: