ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2953. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно шесть решений.

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно шесть решений.

Решение.

Заметим, что из второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что .

Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:

Обратим внимание, что на координатной плоскости прямые  и  параллельны и расположены ниже прямой , проходящей через начало координат. Исходная система имеет 6 решений тогда, когда одна прямая пересекает одну гиперболу  в 2 точках, а другая прямая пересекает обе гиперболы  в 4 точках (т.е. эта прямая пересекает каждую гиперболу в 2 точках). Также нужно исключить случай совпадения прямых, т.к. при этом система не будет иметь 6 решений. Таким образом, нужно исключить значение параметра , .

Рассмотрим каждую из систем в отдельности.

Первая система:

Точка А является точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид

.

В нашем случае уравнение касательной примет вид

.

После преобразований получаем

.

Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты

Таким образом, получаем, что при  система имеет 2 решения; при  система имеет 3 решения, при  система имеет 4 решения.

Вторая система:

Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений

Таким образом, при  система имеет 2 решения, при  система имеет три решения, при  система имеет 4 решения.

Представим полученные решения двух систем на числовой оси и исключим точку . Решением задачи будет пересечение решений двух систем, дающие 8 решений.

Таким образом, совокупность систем имеет решение .

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: