ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2951. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN =1/2∙KN. Точка Р — середина отрезка KN.

Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки М, N и К соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN =1/2∙KN. Точка Р — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 3 и угол PMC = 30°.

Решение.

а) Рассмотрим четырехугольник BNPM: BM=NP,  (по условию). Т.к. в данном четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма (противоположные стороны попарно равны и параллельны) следует, что . Следовательно, в четырехугольнике BCPM . Т.к. точка Р – середина KN, то CP – медиана, проведенная из вершины прямого угла. Поэтому CP=NP=PK. Учитывая, что BM=NP, получаем равенство сторон BM=CP.

Таким образом, получаем, что в четырехугольнике BCPM две стороны параллельны (основания), а две другие – равны (боковые стороны), а значит, четырехугольник BCPM - равнобедренная трапеция.

б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов . Найдем значения катетов треугольника. Рассмотрим : MP=CP (т.к. MP=BN из свойств параллелограмма, BN=CP из свойства медианы, проведенной из вершины прямого угла, и условия). Треугольник равнобедренный, значит, угол  (по свойству равнобедренного треугольника).  (т.к.  и  накрест лежащие при ), . По свойству равнобедренной трапеции .  Получаем, что  - прямоугольный. По свойству прямоугольного треугольника – катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы – получаем, что BC=6.

Аналогично для  получаем гипотенуза AB=12. Далее, по теореме Пифагора: . И площадь равна:

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: