ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2854. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Женя сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами

Задание 19. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Женя сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 62 рубля и ручки за 33 рубля, если n = 14?

б) Могли ли все её покупки состоять из чашки кофе за 10 рублей, ватрушки за 20 рублей и шоколадного батончика за 25 рублей, если n = 27?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Женя купила только альбом за 97 рублей и n = 14?

Решение.

а) Да. В сумме покупки равны 62+33=95 рублей. Это значение кратно 5. Разделим на 5, получим: 95:5 = 19. Уменьшим это значение до 14. Для этого нужно взять 19-14 = 5 десятирублевых монет и 9 пятирублевых:

10∙5+5∙9 = 50+45=95.

б) В задании сказано, что Женя расплачивается за каждую покупку отдельно. Но мы, сначала найдем, можно ли было бы в сумме расплатиться за все покупки 27 монетами. Если окажется, что это сделать невозможно, то и за каждую покупку в отдельности также невозможно выложить 27 монет.

В сумме все покупки Жени составили 10+20+25 = 55 рублей. Можно ли за них расплатиться 27 монетами? Разделим 55 на 27, получим . То есть, необходимо взять хотя бы одну монету в 5 рублей. Тогда получаем такое отношение (55-5):(27-1) = 50:26 < 2 – меньше минимального номинала монет в кошельке. Значит, найти ровно 27 монет не получится.

в) Пусть Аня купила альбом за 97 рублей, потратив 14 монет: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда

Из второго уравнения получаем , и, подставляя в первое, имеем:

Значит,  должно делиться на 8. Следовательно, число l нечётно (разность двух нечетных дает четное число, а нечетное 3 на нечетное l дает нечетное число). При l равном 1, 3, 5, 7 выражение  равно 66, 60, 54, 48 соответственно и только последнее делится на 8, значит, Аня заплатила 7 пятирублевых монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: