Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно восемь решений.
Решение.
Заметим, что из второго уравнения, а также из определения гиперболы () следует, что .
Представим заданную систему в виде совокупности двух систем:
Обратим внимание, что на координатной плоскости прямые и параллельны и расположены ниже прямой , проходящей через начало координат. Исходная система имеет 8 решений тогда, когда каждая прямая пересекает гиперболы в 4 точках (т.е. каждую гиперболу в двух точках). Также нужно исключить случай совпадения прямых, т.к. при этом система не имеет 8 решений. Таким образом, нужно исключить значение параметра , .
Рассмотрим каждую из систем в отдельности.
Первая система:
Точка А является точкой касания прямой и гиперболы. В общем виде уравнение касательной имеет вид
.
В нашем случае уравнение касательной примет вид
.
После преобразований получаем
.
Рассмотрев уравнения прямой и касательной, приравняем соответствующие коэффициенты
Таким образом, получаем, что при система имеет 2 решения; при система имеет 3 решения, при система имеет 4 решения.
Вторая система:
Найдем уравнение касательной и приравняем соответствующие коэффициенты уравнений
Таким образом, при система имеет 2 решения, при система имеет три решения, при система имеет 4 решения.
Представим полученные решения (случай 4 решений) двух систем на числовой оси и исключим точку .
Таким образом, совокупность систем имеет решение .
Ответ:
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: