ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2851. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN. Точка Р — середина отрезка KN.

Задание 16. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника ABC отмечены точки M, N и K соответственно, причём прямая NK параллельна прямой АВ и ВМ = BN = 1/2∙KN. Точка Р — середина отрезка KN.

а) Докажите, что четырёхугольник ВСРМ — равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если ВМ = 2 и угол BCM = 22,5°.

Решение.

а) Рассмотрим четырехугольник BNPM: BM=NP,  (по условию). Т.к. в данном четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма (противоположные стороны попарно равны и параллельны) следует, что . Следовательно, в четырехугольнике BCPM  .

Т.к. точка Р – середина KN, то CP – медиана, проведенная из вершины прямого угла. Поэтому CP=NP=PK. Учитывая, что BM=NP, получаем равенство сторон BM=CP. Таким образом, получаем, что в четырехугольнике BCPM две стороны параллельны (основания), а две другие – равны (боковые стороны), а значит, четырехугольник BCPM – равнобедренная трапеция.

б) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов . Найдем значения катетов треугольника.

Рассмотрим :  (т.к.  и  накрест лежащие при ); MP=CP (т.к. MP=BN из свойств параллелограмма, BN=CP из свойства медианы, проведенной из вершины прямого угла, и условия). Следовательно,   - равнобедренный. А значит, .

Таким образом, получаем, что . По свойству равнобедренной трапеции . Получаем, что прямоугольный  равнобедренный. А, следовательно, АС=ВС.

Выполним дополнительные построения. Проведем из вершин Р и М перпендикуляры РЕ и МL к основанию трапеции ВС. По свойству прямоугольника  РМ= EL=2.

Рассмотрим : , . Откуда . Отрезки СЕ и BL равны (из равенства треугольников CPE и BML по двум сторонам и углу между ними: MB=PC, PE=ML, ). Получаем

.

Вычислим площадь

Ответ:


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: