ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2554. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами

Задание 19. Известно, что в кошельке лежало n монет, каждая из которых могла иметь достоинство 2, 5 или 10 рублей. Таня сделала все свои покупки, расплатившись за каждую покупку отдельно без сдачи только этими монетами, потратив при этом все монеты из кошелька.

а) Могли ли все её покупки состоять из блокнота за 64 рубля и ручки за 31 рубль, если n = 16?

б) Могли ли все её покупки состоять из стакана компота за 15 рублей, сырка за 20 рублей и булочки за 25 рублей, если n = 26?

в) Какое наименьшее количество пятирублёвых монет могло быть в кошельке, если Таня купила только альбом за 96 рублей и n = 19?

Решение.

а) Да. Например, заплатив за блокнот 5 десятирублёвых, 2 пятирублевых монет и 2 двухрублёвые монеты (9 монет), а за ручку 1 десятирублёвую монету, 3 пятирублёвых и 3 двухрублёвых (7 монет). Всего имеем 9+7=16 монет.

б) Таня за каждую покупку расплачивается отдельно. Следовательно, за стакан компота в 15 рублей она могла отдать 6, 3 или 2 монеты:

За сырок Таня могла расплатиться следующими способами:

а за булочку

Можно ли из наборов чисел, записанных справа, составить число 26, используя по одному числу из каждого набора? Максимальная сумма здесь равна 6+10+11=27. Можно ли ее уменьшить на 1? Как видим, нет, значит, Таня не могла расплатиться 26 монетами.

в) Пусть Аня купила альбом за 96 рублей, потратив 19 монет: k двухрублёвых, l пятирублёвых и m десятирублёвых. Тогда

Из второго уравнения получаем , и, подставляя в первое, имеем:

Значит,  делится на 8. Следовательно, число l чётно (сумма двух четных дает четное число, а нечетное 3 на четное l дает четное число). При l равном 2, 4 и 6 выражение  равно 52, 46 и 40 соответственно и только последнее делится на 8, значит, Аня заплатила 6 пятирублевых монет.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: