ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 2453. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно шесть решений.

Задание 18. Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно шесть решений.

Решение.

Из второго уравнения системы получаем: . Если a = 0, то получаем систему

 откуда

Значит, a > 0. Получим систему

откуда  или .

На координатной плоскости мы получаем две параллельные прямые и две гиперболы. Если две прямые совпадают, то шесть различных решений невозможно. Поэтому , откуда .

При этом условии гипербола y=a/x пересекает каждую из прямых в двух различных точках. Это даёт четыре различных решения данной системы.

Еще два решения получаются при пересечении прямых гиперболой y=-a/x

в двух различных точках. Для этого нужно, чтобы гипербола дважды пересекала ту прямую, что дальше от начала координат, и не имела общих точек с прямой, что ближе к началу координат. Для этого нужно, чтобы из двух квадратных уравнений

 и

одно имело ровно два различных корня, а другое не имело корней. Дискриминанты этих уравнений должны быть противоположных знаков. Получаем:

Учитывая, что a > 0, приходим к неравенству

,

откуда  или .

Ответ: .

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: