ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Решение 3351. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N. а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны. б) Найдите

Задание 16. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. На катете АС взята точка М. Окружность с центром О и диаметром СМ касается гипотенузы в точке N.

а) Докажите, что прямые MN и ВО параллельны.

б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : МС = 1:3.

Решение.

а) Для того чтобы прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Рассмотрим соответственные углы СМN и COB. Рассмотрим треугольники OAN и ABC. Они подобны по двум углам: угол А – общий, углы N и С – прямые. Следовательно, углы АON и ABC равны. Пусть они будут равны 2α.

Рассмотрим треугольник CNM. Угол MNC – прямой (т.к. опирается на диаметр окружности), угол MCN – вписанный, опирается на дугу MN и равен половине ее градусной меры. Центральный угол MON также опирается на эту дугу и равен ее полной градусной мере, т.е. 2α. Следовательно, в рассматриваемом треугольнике CNM , .

Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. В нем  (по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точке), . Таким образом, получаем , а значит, .

б) Четырёхугольник BOMN является трапецией: две стороны параллельны, а две другие нет). Площадь трапеции вычисляется по формуле .

Высота трапеции PN=2 (СP=PN из равенства треугольников CPB и BNP по двум сторонам и углу между ними), вычислим основания.

Пусть АМ=x. Рассмотрим подобные треугольники AON и ABC. . В треугольнике AON: АО=2,5x, ON=1,5x (CO=OM=ON как радиусы окружности),  (по теореме Пифагора).

Из соотношения  найдем СВ:

.

СВ=NB (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ONB. По теореме Пифагора

Рассмотрим прямоугольный треугольник NPB. . Откуда

, а .

Тогда

.

Из прямоугольного треугольника СМN вычислим MN.

.

Таким образом, площадь трапеции равна

Ответ: 7


Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: