ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 2654. ЕГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Задание 19. На доске написано 32 различных натуральных чисел, каждое из которых либо нечётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 2. Сумма написанных чисел равна 859.

а) Может ли на доске быть ровно 25 нечётных чисел?

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 2?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 2, может быть на доске?

Решение.

а) Допустим на доске написаны следующие 25 нечетных числа:

1, 3, 5, …, 45, 47, 49

их сумма равна

.

Оставшееся значение 859-625 = 234 должно соответствовать сумме 32-25=7 четных чисел. Это могут быть числа:

2, 12, 22, 32, 42, 52, 72.

б) Пусть на доске написано ровно три числа, оканчивающихся на 2. Тогда на доске 32-3=29 нечётных числа. Их сумма не меньше, чем сумма 35 наименьших нечётных чисел:

Это число больше, числа

859 – (2+12+22)

разницы суммы трех наименьших четных числа. Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 859.

в) Пусть на доске написано n чисел, оканчивающихся на 2, и 32-n нечётных чисел. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 2, не меньше

а сумма нечётных чисел не меньше

.

Таким образом,

откуда, учитывая, что n — целое, получаем .

Если на доске написано четыре числа, оканчивающихся на 2, и 32-4=28 нечётных числа, то их сумма чётна, что не соответствует нечетному числу 859. Следовательно, нужно взять минимум 5 чисел, оканчивающихся на 2.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: