Самообразование
Главная > 2018: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика, Русский язык > ЕГЭ 2018. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

Вариант 2. Задание 19. ЕГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 19. На доске написано 38 различных натуральных чисел, каждое из которых либо чётное, либо его десятичная запись оканчивается на цифру 5. Сумма написанных чисел равна 1255.

а) Может ли на доске быть ровно 31 чётное число?

б) Могут ли ровно три числа на доске оканчиваться на 5?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 5, может быть на доске?

Решение.

а) Так как 31 чисел должны быть четными, то 38-31=7 чисел должны быть нечетными. Например, в качестве наименьших нечетных чисел, оканчивающихся на цифру 5, можно взять числа:

5, 15, 25, 35, 45, 55, 65.

Их сумма будет равна 245. Тогда четные числа в сумме должны давать

1255-245 = 1010.

Наименьшие из 31 четных чисел – это последовательность:

2, 4, 6, 8, …, 60, 62

и их сумма равна

.

Разница с требуемым значением составляет

1010-992 = 18.

Скорректируем последовательность из 31 четных чисел. Уберем из нее последнее число 62 и вместо него запишем четное число 62+18=80. Таким образом, получили требуемую последовательность чисел.

б) Пусть на доске написано ровно три числа, оканчивающихся на 5. Тогда на доске 38-3=35 чётных числа. Их сумма не меньше, чем сумма 35 наименьших чётных чисел:

Это противоречит тому, что сумма написанных чисел равна 1255.

в) Пусть на доске написано n чисел, оканчивающихся на 5, и 38-n чётных чисел. Тогда сумма чисел, оканчивающихся на 5, не меньше

,

а сумма чётных чисел не меньше

.

Таким образом,

откуда, учитывая, что n — целое, получаем .

Если на доске написано пять чисел, оканчивающихся на 5, и 33 чётных числа, то их сумма нечётна, что соответствует нечетному значению 1255.

Ответ: а) да; б) нет; в) 5.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Темы раздела