ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 2551. ЕГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов.

Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 57°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Решение.

а) Проведем лучи BA и CD, которые пересекаются в точке F (см. рисунок). Так как ABCD трапеция, то  и треугольники BFC и AFD подобны с коэффициентом подобия k=2 (так как BC = 2AD). Отсюда следует, что A – середина BF, а D – середина FC. По условию , поэтому AM и DM – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника BFC, а значит, точка M – центр описанной окружности, а MB и MC – радиусы этой окружности, то есть MB = MC.

б) MN – расстояние от точки M до BC, то есть, , откуда следует, что треугольники . Данные треугольники прямоугольные и равнобедренные, следовательно, углы при основании равны по 45°. Следовательно, . Также из рисунка видно, что угол BFC – вписанный в окружность и опирается на дугу BC, следовательно, его градусная мера равна половине дуги BC. В свою очередь градусная мера дуги BC равна центральному углу BMC = 90°, на которую он опирается, то есть:

.

Рассмотрим треугольник FBC, в котором угол

и, так как, , получаем искомый ответ.

Ответ: 78.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: