Главная > 2018: ЕГЭ, ОГЭ, ВПР > ЕГЭ 2018. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

Источник задания: Вариант 1. Задание 16. ЕГЭ 2018 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.

а) Докажите, что ВМ = СМ.

б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.

Решение.

а) Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке L. Тогда треугольники BLC и ALD подобны с коэффициентом подобия 2, поскольку ВС = 2AD. Значит, А и D — середины BL и CL соответственно. Таким образом, AM и DM — серединные перпендикуляры в треугольнике BLC, а М — центр описанной около этого треугольника окружности, поэтому BM = CM как радиусы этой окружности.

б) Пусть Н — середина ВС, тогда МН — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Значит, треугольники ВНМ и СНМ равнобедренные прямоугольные, поэтому . По свойству вписанного угла

,

откуда

.

Ответ: 71.

Другие задания:

Темы раздела

Для наших пользователей досутпны следующие материалы: