Задание 16. В трапеции ABCD основание AD в два раза меньше основания ВС. Внутри трапеции взяли точку М так, что углы ВАМ и CDM прямые.
а) Докажите, что ВМ = СМ.
б) Найдите угол ABC, если угол BCD равен 64°, а расстояние от точки М до прямой ВС равно стороне AD.
Решение.
а) Пусть прямые АВ и CD пересекаются в точке L. Тогда треугольники BLC и ALD подобны с коэффициентом подобия 2, поскольку ВС = 2AD. Значит, А и D — середины BL и CL соответственно. Таким образом, AM и DM — серединные перпендикуляры в треугольнике BLC, а М — центр описанной около этого треугольника окружности, поэтому BM = CM как радиусы этой окружности.
б) Пусть Н —
середина ВС, тогда МН — серединный перпендикуляр к стороне ВС. Значит,
треугольники ВНМ и СНМ равнобедренные прямоугольные, поэтому 
. По свойству вписанного
угла
,
откуда
.
Ответ: 71.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: