Задание 28. Небольшие шарики, массы которых m и M, соединены лёгким стержнем и помещены в гладкую сферическую выемку радиусом R = 20 см. В начальный момент шарики удерживаются в положении, изображённом на рисунке. Когда их отпустили без толчка, шарики стали скользить по поверхности выемки. Минимальная высота, на которой оказался шарик m в процессе движения, равна 4 см от нижней точки выемки. Определите отношение масс M и m.
Решение.
Полная механическая энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергии, сохраняется, так как выемка гладкая и работа сил реакции стенок, в любой момент времени перпендикулярных скоростям шариков, равна нулю:
.
В начальный момент и момент подъёма на максимальную высоту H кинетическая энергия системы равна нулю, поэтому её потенциальная энергия в эти моменты времени одинакова:
.
Начальное положение системы изображено на рис. 1, а конечное — на рис. 2. Если отсчитывать потенциальную энергию от нижней точки выемки, то начальная потенциальная энергия системы , а её конечная потенциальная энергия . Закон сохранения энергии приводит к уравнению
,
из которого следует, что
. (1)
При движении гантели по поверхности выемки высоты подъёма большого и малого грузов связаны. Заметим, что в прямоугольных треугольниках ОтА и ОМВ MB = тА = R-h, OA = OB = R - Н, ОМ = От = R, и воспользуемся теоремой Пифагора:
.
Отсюда следует: . Из этого уравнения находим, что
см.
Из соотношения (1) можно определить, что отношение масс M иm равно 2.
Ответ: 2.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: