Самообразование
Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017 Математика. Демонстрационный вариант. Профильный уровень

Задание 14. ЕГЭ 2017 Математика. Демоверсия. Профильный уровень. Решение

Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 имеют длину 6. Точки М и N — середины рёбер АА1 и А1С1 соответственно.

а) Докажите, что прямые ВМ и MN перпендикулярны.

б) Найдите угол между плоскостями BMN и ABB1.

Решение.

а) В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник. Проведем в основании призмы высоту BH, причем точка H будет делить сторону AC пополам (так как высота в равностороннем треугольнике совпадает с медианой).

http://www.egerest.ru/sites/default/files/ege2016/dem2016/dem_14_10.jpg

Тогда высоту BH можно вычислить по теореме Пифагора следующим образом:

.

Вычислим длину отрезка BN из прямоугольного треугольника BNH также по теореме Пифагора:

.

Чтобы доказать перпендикулярность отрезков BM и MN нужно показать, что их сумма квадратов будет равна 63 (это должно следовать по теореме Пифагора):

следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник BMN является прямоугольным с прямым углом M.

б) Сначала проведем перпендикуляр NP к прямой A1B1. Тогда получим, что , и, следовательно, . Отсюда следует, что прямая NP – это проекция MN на плоскость ABB1.

В предыдущем пункте было показано, что  и по теореме о трех перпендикулярах имеем . Следовательно, угол NMP – линейный угол искомого угла между плоскостями BMN и ABB1. Вычислим этот угол.

Найдем длину отрезка NP. Так как точка N – середина отрезка A1C1, то длина NP будет в два раза меньше высоты треугольника A1B1C1. Так как этот треугольник равносторонний, то его исходная высота (по теореме Пифагора) равна , следовательно, . Тогда синус угла NMP можно выразить как

и

.

Ответ: .

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела