Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2017 > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

Вариант 2. Задание 19. ЕГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 19. В целочисленной последовательности a1=3, a2, ..., an=109, состоящей из целых чисел, сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 1, или 3, или 13.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 32 членов?

в) Какое наименьшее число членов может быть в такой последовательности?

Решение.

а) Заметим, что если , , тогда . Это значит, что можно построить последовательность, где любой член на нечетном месте на 2 больше члена на предыдущем нечетном месте. Пример такой последовательности может быть следующий:

3, -2, 5, -4, 7, -6, 9, ..., 103, -102, 105, -104, 107, -106, 109.

Можно заметить, что на нечетных местах этой последовательности стоят нечетные числа, а на четных местах – четные числа. Это будет справедливо для любой последовательности этого типа, так как мы оперируем числами 1, 3 и 13.

б) Если последовательность имеет 32 члена, то на четном 32-м месте должно стоять четное число. Последнее число 109 – нечетное, следовательно, последовательность не может содержать ровно 32 члена.

в) Наименьшее число членов будет достигаться при наибольшем увеличении значений последовательности. То есть должно выполняться условие:

или в виде

.

В результате последовательность будет иметь вид:

Последнее значение должно быть равно 109, то есть

,

откуда

.

Последнее неравенство показывает, что наименьшее целое k=9 и минимальное число членов в последовательности будет равно .

Ответ: а) да; б) нет; в) 19.

Наша группа Вконтакте