Самообразование
Главная > 2017: ЕГЭ, ОГЭ Предметы > ЕГЭ 2017. Математика. И.В. Ященко. 36 вариантов. Профильный уровень

Вариант 1. Задание 19. ЕГЭ 2017 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Решение

Задание 19. В целочисленной последовательности a1=2, a2, ..., an=336, состоящей из целых чисел, сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 5, или 7, или 29.

а) Приведите пример такой последовательности.

б) Может ли такая последовательность состоять из 812 членов?

в) Какое наименьшее число членов может быть в такой последовательности?

Решение.

а) Нужно сформировать последовательность так, чтобы на n-м месте получилось число 336.  Первое значение дано по условию задачи a1=2, сформируем следующие первые члены:

2; 3; 4; 1; 6; -1; 8;

Последующие члены будем формировать по правилу

получим:

-3; 10; -5; 12; ...; 334; -329; 336.

б) Из полученной последовательности в пункте а) можно заметить, что на нечетных местах стоят четные члены, а на четных местах – нечетные члены. Это правило будет соблюдаться при любом виде формирования последовательности, так как идет оперирование нечетными числами 5, 7 и 29. Следовательно, если последовательность состоит из 812 членов, то на последнем 812-м месте будет находиться нечетное число. Вместе с тем число 336 – четное, значит сформировать последовательность длиной 812 членов нельзя.

в) Чтобы последовательность содержала минимальное число членов, она должна максимально быстро возрастать. Это достигается, если сумма первых двух членов будет равна 5, а сумма вторых двух членов – 29, то есть для любого k можно записать правило:

или в виде

.

В результате получаем следующие члены последовательности:

Последним числом нужно получить число 336. Оно четное, следовательно должно стоять на нечетной позиции. Нечетная позиция определяется индексом 2k+1, следовательно,

и достигается при

,

то есть k должно быть не менее 14 и в последовательности будет минимум  членов. Например, это последовательность вида

2, 3, 26, -21, 50, -45, 74, -69, 98, -93, 122, -117, 146, -141, 170, -165, 194, -189, 218, -213, 242, -237, 266, -261, 290, -285, 314, -307, 336.

Ответ: а) да; б) нет; в) 29.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.

Другие задания варианта:

Темы раздела