Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016 Математика. Тренировочные варианты

Вариант 5. Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ 2016 Математика. Решение. Ответ

Задание 14. Дана правильная шестиугольная призма, длины всех ребер которой равны 1.

а) Постройте сечение, проходящих через два противоположных ребра оснований призмы.

б) Найдите площадь сечения.

Решение.

а) Два противоположных ребра правильной шестиугольной призмы, это, например, ребра BC и . Сечение, проведенное через эти ребра, будет представлять собой шестиугольник, проходящее через точки M и N, лежащие на серединах отрезков  и  соответственно (см. рисунок).

б) Предположим, что угол между сечением и основанием призмы равен . Тогда можно записать следующее равенство

,

где  - площадь основания призмы;  - площадь искомого сечения. Из этой формулы выразим площадь сечения, получим:

.

Найдем  из прямоугольного треугольника BFF1 как отношение прилежащего катета BF к гипотенузе BF1. Найдем сторону BF из треугольника ABF. У этого треугольника угол A равен 120 градусов. Стороны AB и AF равны 1. Тогда по теореме косинусов имеем:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник  и вычислим сторону  по теореме Пифагора:

.

Таким образом, косинус угла между плоскостями, равен

.

Теперь вычислим площадь основания призмы. Так как основание является правильным шестиугольником, то его можно разбить на 6 равносторонних треугольников, стороны которых будут равны 1 (так как все грани основания равны 1). Как известно, площадь равностороннего треугольника равна  и при a=1 имеем . Тогда площадь шестиугольника равна

.

Наконец, площадь сечения будет равна

.

Ответ: 3.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.
Темы раздела