Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2016 > ЕГЭ 2016 Математика. Демоверсия

ЕГЭ-2016 Математика. Демоверсия (задание 14). Решение. Ответ

Задание 14. Все рёбра правильной треугольной призмы  имеют длину 6. Точки M и N - середины рёбер  и  соответственно.
а) Докажите, что прямые  и  перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями  и .

Решение.

а) У правильной треугольной пирамиды в основании лежит равносторонний треугольник. Тогда, если ввести точку  как середину отрезка , то высота  будет образовывать прямой угол с основанием  (см. рисунок).

http://www.egerest.ru/sites/default/files/ege2016/dem2016/dem_14_10.jpg

Пользуясь теоремой Пифагора можем записать, что

Зная , аналогично вычислим , получим

.

Учитывая, что

по теореме Пифагора получается, что треугольник  прямоугольный с прямым углом в точке M. 

б) Выполним построение: проведем перпендикуляр из точки  к прямой  (см. рисунок). Тогда получаем, что  и . Следовательно, . Отсюда следует, что отрезок  - это проекция отрезка  на плоскость . Так как прямая  перпендикулярна прямой , то по теореме о трех перпендикулярах получаем, что . Таким образом, угол  - линейный угол искомого угла между плоскостями  и .

Для вычисления длины  можно заметить, что она равна половине высоты треугольника :

.

В итоге получаем, что

.

Следовательно,

.

Ответ: .

Темы раздела