ЕГЭ и ОГЭ
Главная

Источник задания: Решение 2953. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

на промежутке  имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение  на промежутке .

При  все значения функции f(x) на промежутке  отрицательны, а все значения функции g(x) — неотрицательны, поэтому при  уравнение  не имеет решений на промежутке .

При  функция f(x) возрастает. Функция g(x) бывает на промежутке , поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда , откуда получаем , то есть .

На промежутке  уравнение  принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня  и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень  принадлежит промежутку  тогда и только тогда, когда

то есть .

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке :

- нет корней при ;

- один корень при  и ;

- два корня при  и ;

- три корня при .

Ответ: .

Другие задания:

Для наших пользователей досутпны следующие материалы:

Видео по теме