ЕГЭ и ОГЭ
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко. Профильный уровень (36 вариантов)

Источник задания: Решение 4453. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 36 вариантов. Ответ.

Задание 18. Найти все значения параметра a, при каждом из которых для любой пары (u; v) действительных чисел u и v выполнено неравенство

.

Решение.

Сделаем замену x = sin(u). Очевидно, . Получаем неравенство:

.

При фиксированных v и а рассмотрим левую часть как функцию от х:

.

В зависимости от того, как располагается x относительно точек  и , модули будут раскрываться по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция f(x) будет линейной с угловым коэффициентом k = 13±7±3. Какова бы ни была комбинация знаков, k > 0. Следовательно, функция f(x) монотонно возрастает.

Поэтому неравенство  выполняется при всех x от -1 до 1, если и только если :

При малых v (меньше, чем наименьшее из чисел  и ) функция  — возрастающая линейная с угловым коэффициентом k1 = 1. При больших v (больше, чем максимум из тех же чисел) — убывающая линейная функция с угловым коэффициентом k2 = -1 (см. рисунок). Поэтому функция g(v) принимает наибольшее значение в одной из точек  или . Неравенство  выполняется при всех v тогда и только тогда, когда  и . Получаем:

Второе неравенство верно при всех a, а из первого находим:

,

откуда

.

Ответ: [0,2; 0,6].

Другие задания:

Для наших пользователей досутпны следующие материалы:

Видео по теме