Задание 19. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?
б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?
в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Решение.
а) Пусть
первоначально на доске было 24 числа, равных 1, и 6 чисел, равных 31. Их
среднее арифметическое равно 7. Среднее арифметическое получившихся чисел равно 
.
б) Пусть с доски
было стёрто k чисел, сумма оставшихся была равна S, а стала равна S/2. По условию
оказались стёрты только числа, получившиеся из 1, поэтому 
, то есть 
. Среднее арифметическое
оставшихся чисел равно
, откуда
получаем:
Таких целых чисел k нет.
в) Пусть с доски
было стёрто k чисел, сумма оставшихся была равна S, а стала равна S/2. По условию , то есть . Необходимо найти наибольшее возможное значение числа 
.
Имеем:
.
Число А будет наибольшим, если число k будет принимать наибольшее возможное значение. Оценим это значение. Каждое из первоначально написанных на доске чисел было не более 40 и на доске осталось 30 - k чисел, поэтому для суммы S выполняется неравенство
,
откуда
Значит,
.
Приведём
пример, показывающий, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел
действительно могло стать равным 18,5. Пусть первоначально на доске было
написано 25 единиц и 5 чисел, равных 37. Тогда их среднее арифметическое было
равно 
. Все
единицы стёрли с доски, а остальные числа уменьшились в 2 раза. Тогда среднее
арифметическое оставшихся чисел равно 
.
Ответ: а) да; б) нет; в) 18,5.
Другие задания:
Для наших пользователей доступны следующие материалы: