Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика 2016 > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 6. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Пусть q - наименьшее общее кратное, а d — наибольший общий делитель натуральных чисел х и у, удовлетворяющих равенству 3x=8у-29.

а) Может ли q/d быть равным 170?

б) Может ли q/d быть равным 2?

в) Найдите наименьшее значение q/d.

Решение.

Наибольший общий делитель d можно найти как НОД(x, y)=d. Тогда , а , где  - натуральные взаимно простые числа.

а) Подставим в формулу выражения для x и y, получим:

Так как 29 – простое число, то d может принимать значения 1 или 29. Будем полагать, что d=1, тогда

,

и

,

откуда

.

Решаем квадратное уравнение, получаем:

Таким образом, получили первое число u=17, тогда второе значение

,

и

Имеем два числа, у которых НОД(17, 10)=1, а НОК(17, 10)=170, и 170:1=170.

Ответ: 17 и 10.

б) По аналогии с пунктом а) проверим, может ли , имеем:

и видим, что квадратное уравнение не имеет целых решений. Попробуем найти решение при d=29, получим уравнение:

также не имеет целых решений.

Ответ: нет.

в) 1. Будем полагать, что d=1, тогда . Так как u и v – натуральные числа, то минимальное значение u можно найти из выражения

,

и оно равно (путем подбора) u=1, тогда

.

Это и есть минимальные значения u и v, при которых

и НОД(1, 4)=1, НОК(1,4)=4 и q/d=4/1=4 – наименьшее значение при d=1.

2. Будем полагать, что d=29, тогда , и

.

Минимальное значение u=5, тогда , и

НОД(145, 58)=29, НОК(145, 58)=290 и q/d=290/29=10.

Таким образом, имеем минимальное значение .

Ответ: 4.

Наша группа Вконтакте