Задание
19. а) Приведите пример
такого натурального числа n, что числа 
и
дают
одинаковый остаток при делении на 200.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько
существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует
ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что и 
дают одинаковый остаток
при делении на 200.
Решение.
а) Рассмотрим два
числа 
и 
, которые имеют
одинаковый остаток 
при
делении на 200, то есть можно записать
, 
,
где
- целые числа
(целые результаты деления чисел на 200). Тогда можно заметить, что разность
этих чисел
будет
делиться на 200 нацело. Для чисел 
и 
можно заключить, что разность
должна
делиться на 200. Кроме того, значение 
должно быть кратно 25, так как НОД(32,
200)=8 и 200:8=25. Таким образом, условию пункта а) удовлетворяют все числа 
, при 
. Например, при 
получаем 
и видим, что
и 
имеют одинаковый остаток.
Ответ: 17.
б) Трехзначные
числа будут получаться при 
, то есть их всего 36 штук.
Ответ: 36.
в) Сначала вычислим разность этих двух чисел, получим:
,
и,
учитывая, что должно
быть четным, имеем:
это значение должно быть кратно 200.
Из
предыдущего пункта мы выяснили, что число 
удовлетворяет условию текущего задания. Это
связано с тем, что НОД(2*m=32, 200)=8 и тогда множитель 
должен быть кратен
200:8=25, и число
.
Найдем
такие четные двухзначные , при которых НОД(2*m, 200)=8,
получим:
±12, ±16, ±24, ±32, ±48, ±56, ±64, ±72, ±88, ±96,
то есть всего 20 значений.
Ответ: 20.