Самообразование
Главная > ОГЭ, ЕГЭ Математика, Физика 2016 > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 5. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. а) Приведите пример такого натурального числа n, что числа  и  дают одинаковый остаток при делении на 200.

б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?

в) Сколько существует двузначных чисел m, для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных чисел n, таких, что  и  дают одинаковый остаток при делении на 200.

Решение.

а) Рассмотрим два числа  и , которые имеют одинаковый остаток  при делении на 200, то есть можно записать

, ,

где  - целые числа (целые результаты деления чисел на 200). Тогда можно заметить, что разность этих чисел

будет делиться на 200 нацело. Для чисел  и  можно заключить, что разность

должна делиться на 200. Кроме того, значение  должно быть кратно 25, так как НОД(32, 200)=8 и 200:8=25. Таким образом, условию пункта а) удовлетворяют все числа , при . Например, при  получаем  и видим, что

 и

имеют одинаковый остаток.

Ответ: 17.

б) Трехзначные числа будут получаться при , то есть их всего 36 штук.

Ответ: 36.

в) Сначала вычислим разность этих двух чисел, получим:

,

и, учитывая, что  должно быть четным, имеем:

это значение должно быть кратно 200.

Из предыдущего пункта мы выяснили, что число  удовлетворяет условию текущего задания. Это связано с тем, что НОД(2*m=32, 200)=8 и тогда множитель  должен быть кратен 200:8=25, и число

.

Найдем такие четные двухзначные , при которых НОД(2*m, 200)=8, получим:

,

то есть всего 18 значений.

Ответ: 18.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.