Задание 19. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Решение.
а) Найдем арифметическую
последовательность 
,
у которой разность
будет меньше разности
на 40, то есть
.
Подставим
вместо 
и 
указанные выражения,
раскроем скобки и сократим подобные члены, получим:
Из
формул арифметической прогрессии известно, что 
и 
. Подставим данные выражения в формулу
разности, получим:
(1)
и
эта разность должна быть равна 40. Предположим, что 
, тогда имеем:
,
и
методом подбора получаем 
, 
, то есть нужно взять последовательности
вида:
2, 3 и 2, 3, 4,
соответственно,
б) Используя
выражение (1), посмотрим, могла ли последовательность состоять из 13 членов.
Очевидно, что минимальное значение разности получается при 
, имеем:
,
и
при 
получаем:
,
то есть при 13 членах последовательности получить разность 1768 невозможно.
Ответ: нет.
в) Наибольшее
число членов прогрессии можно найти методом подбора, учитывая, что 
. Подставляя в выражение
(1) различные значения 
и сокращая значения, будем иметь:
-
при 
:
,
нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 6;
-
при 
:
,
нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 11;
-
при 
:
,
нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 5;
-
при 
:
,
нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 9;
-
при 
:
,
и
получаем решение при 
и
.
Ответ: 8.