Самообразование
Главная > 2016: ЕГЭ, ОГЭ Математика, Физика > ЕГЭ 2016. Математика, И.В. Ященко : 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2

Вариант 2. Задание 19. ЕГЭ 2016. Математика, И. В. Ященко. 30 вариантов типовых тестовых заданий. Решение

Задание 19. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Решение.

а) Найдем арифметическую последовательность , у которой разность

будет меньше разности

на 40, то есть

.

Подставим вместо  и  указанные выражения, раскроем скобки и сократим подобные члены, получим:

Из формул арифметической прогрессии известно, что  и . Подставим данные выражения в формулу разности, получим:

     (1)

и эта разность должна быть равна 40. Предположим, что , тогда имеем:

,

и методом подбора получаем , , то есть нужно взять последовательности вида:

2, 3 и 2, 3, 4,

соответственно,

б) Используя выражение (1), посмотрим, могла ли последовательность состоять из 13 членов. Очевидно, что минимальное значение разности получается при , имеем:

,

и при  получаем:

,

то есть при 13 членах последовательности получить разность 1768 невозможно.

Ответ: нет.

в) Наибольшее число членов прогрессии можно найти методом подбора, учитывая, что . Подставляя в выражение (1) различные значения  и сокращая значения, будем иметь:

- при :

,

нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 6;

- при :

,

нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 11;

- при :

,

нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 5;

- при :

,

нет целых решений, та как 884 не делится нацело на 9;

- при :

,

и получаем решение при  и .

Ответ: 8.

Автор: С.М. Балакирев
Формат книги: pdf
Дата написания: 2017 г.
Объем: 70 стр.